एसईई २०८२ ऐच्छिक गणित प्रश्नपत्र, बागमती प्रदेश

प्रश्नहरू

यहाँ १ अङ्कका १० प्रश्नको उत्तर दिइएको छ। यी GyanMul का नमुना उत्तर हुन् — नेबले उत्तरकुञ्जिका प्रकाशित गर्दैन, त्यसैले यी बोर्डका उत्तर होइनन्।

1. प्रश्न ११ अङ्क

   एकात्मक फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।

   Write the definition of identity function.

   उत्तर: A बाट A मा परिभाषित फलन f : A → A जसलाई हरेक $x \in A$ का लागि f(x) = x द्वारा परिभाषित गरिन्छ, त्यसलाई पहिचान फलन भनिन्छ — हरेक तत्त्व आफैँको छवि हुन्छ।

2. प्रश्न २१ अङ्क

   यदि a र b दुई धनात्मक सङ्ख्याहरू भए तिनीहरूको समानान्तरीय मध्यमा (AM) र गुणोत्तर मध्यमा (GM) बिचको सम्बन्ध लेख्नुहोस् ।

   If a and b are two positive numbers, write the relation between their arithmetic mean (AM) and geometric mean (GM).

   उत्तर: $AM \ge GM$, अर्थात् $(a + b)/2 \ge \sqrt{ab}$, समानता केवल तब हुन्छ जब a = b।

3. प्रश्न ३१ अङ्क

   फलन f(x) विन्दु x = a मा निरन्तर हुने अवस्था लेख्नुहोस् ।

   Write the condition of the continuity of the function f(x) at the point x = a.

   उत्तर: f(x) लाई x = a मा निरन्तर भनिन्छ यदि f(a) परिभाषित छ, $\lim_{x \to a} f(x)$ अस्तित्वमा छ, र $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$।

4. प्रश्न ४१ अङ्क

   मेट्रिक्स (1 0 / 0 1) को विपरीत मेट्रिक्स के हुन्छ, लेख्नुहोस् ।

   What is the inverse matrix of matrix (1 0 / 0 1)? Write it.

   उत्तर: यो म्याट्रिक्स $2\times 2$ एकाइ म्याट्रिक्स I हो, र $I^{-1} = I = [ 1 0$ ; 0 1 ].

5. प्रश्न ५१ अङ्क

   समीकरण $ax^{2} + 2$hxy + $by^{2} = 0$ ले जनाउने जोडा रेखाहरू कुन अवस्थामा सम्पाती हुन्छन् ? लेख्नुहोस् ।

   Under what condition are the pair of straight lines represented by the equation $ax^{2} + 2$hxy + $by^{2} = 0$ coincident? Write it.

   उत्तर: यी रेखाहरू समान (coincident) हुन्छन् जब $h^{2} = ab$.

6. प्रश्न ६१ अङ्क

   कुन अवस्थामा एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले प्रतिच्छेदन गर्दा वृत्त बन्छ, लेख्नुहोस् ।

   In which condition is a circle formed when a plane surface intersects a cone? Write it.

   उत्तर: जब समतल पृष्ठले शंकुलाई यसको आधारसँग समान्तर रूपमा काट्छ, अर्थात् त्यो पृष्ठ शंकुको अक्षसँग लम्ब हुन्छ।

7. प्रश्न ७१ अङ्क

   sinA लाई $\tan (A/2)$ को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।

   Express sinA in terms of $\tan (A/2)$.

   उत्तर: उत्तर: sinA $= 2 \tan (A/2) / (1 + \tan^{2}(A/2))$

8. प्रश्न ८१ अङ्क

   $Cos(A-B) - Cos(A+B)$ लाई गुणनफलको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।

   Express $Cos(A-B) - Cos(A+B)$ as a product.

   उत्तर: उत्तर: $\cos (A - B) - \cos (A + B) = 2$ sinA sinB

9. प्रश्न ९१ अङ्क

   भेक्टरहरू a⃗ र b⃗ बिचको कोण $\theta$ पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।

   Write the formula to find the angle $\theta$ between the vectors a⃗ and b⃗.

   उत्तर: $\cos \theta = (\vec{a} \cdot \vec{b}$)/(|a⃗| |b⃗|), so $\theta = \cos^{-1}[(\vec{a} \cdot \vec{b}$)/(|a⃗| |b⃗|)].

10. प्रश्न १०१ अङ्क

    विपरीत स्थानान्तरणमा यदि बिन्दु P उत्क्रम वृत्तको केन्द्रविन्दुमा पर्दछ भने P को प्रतिबिम्ब P' कहाँ पर्दछ, लेख्नुहोस् ।

    In an inversion transformation, if a point P lies at the centre of inversion circle then where does its image P' lie? Write it.

    उत्तर: प्रतिमा अनन्तमा अवस्थित हुन्छ — यो परिभाषित हुँदैन, किनकि $OP \times OP′ = r^{2}$ लाई पूरा गर्न सकिँदैन जब $OP = 0$.

11. प्रश्न ११२ अङ्क

    यदि बहुपदीय $p(y) = y^{3} - 2ay^{2} + ay - 2$ को एउटा गुणन खण्ड $y - 2$ भए a को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।

    If $y - 2$ is a factor of polynomial $p(y) = y^{3} - 2ay^{2} + ay - 2$, find the value of a.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

12. प्रश्न १२२ अङ्क

    असमानता $2x + y \le 2$ लाई लेखा चित्रमा देखाउनुहोस् ।

    Show the inequality $2x + y \le 2$ in the graph paper.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

13. प्रश्न १३२ अङ्क

    यदि समीकरणहरू $ax - 5y = 3$ र $4x + 3y = 4$ मा $D = 26$ भए क्रामरको नियम प्रयोग गरी 'a' को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।

    If the equations $ax - 5y = 3$ and $4x + 3y = 4$ have $D = 26$, find the value of 'a' using Cramer's rule.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

14. प्रश्न १४२ अङ्क

    समीकरण $6x^{2} + 5xy - 6y^{2} - 3x + 2y = 0$ ले प्रतिनिधित्व गर्ने जोडा रेखाहरूको छुट्टा छुट्टै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the separate equation of the pair of lines represented by the equation $6x^{2} + 5xy - 6y^{2} - 3x + 2y = 0$.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

15. प्रश्न १५२ अङ्क

    क्याल्कुलेटर र त्रिकोणमितीय तालिका प्रयोग नगरी प्रमाणित गर्नुहोस् : $\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = (2 + \sqrt{3})/4$

    Without using calculator and trigonometric table prove that: $\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = (2 + \sqrt{3})/4$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

16. प्रश्न १६२ अङ्क

    हल गर्नुहोस्: $\sin 2x -$ sinx $= 0 (0^\circ \le x \le 90^\circ )$

    Solve: $\sin 2x -$ sinx $= 0 (0^\circ \le x \le 90^\circ )$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

17. प्रश्न १७२ अङ्क

    भेक्टरहरू 3i⃗ + 4j⃗ र 8i⃗ $- 6\vec{j}$ बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the angle between the vectors 3i⃗ + 4j⃗ and 8i⃗ $- 6\vec{j}$.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

18. प्रश्न १८२ अङ्क

    कुनै एउटा निरन्तर श्रेणीमा $\sum f|m - \bar{x}| = 1134, N = 100$ र मध्यक (x̄) $= 40$ भए मध्यक भिन्नता र यसको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।

    In a continuous series if $\sum f|m - \bar{x}| = 1134, N = 100$ and mean (x̄) $= 40$, find the mean deviation and its coefficient.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

19. प्रश्न १९३ अङ्क

    यदि f(x) = (2x + 5)/3 र g(x) = (x + 5)/2 मा $g\circ g(x) = f^{-1}(x)$ भए x को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।

    If f(x) = (2x + 5)/3 and g(x) = (x + 5)/2 such that $g\circ g(x) = f^{-1}(x)$, find the value of x.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

20. प्रश्न २०३ अङ्क

    लेखाचित्र विधिद्वारा हल गर्नुहोस्: $y = x^{2}$ and $y = 2x + 3$

    Solve graphically: $y = x^{2}$ and $y = 2x + 3$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

21. प्रश्न २१३ अङ्क

    फलन f(x) निम्नानुसार परिभाषित छ । f(x) = x + 2 for $x < 2$ $f(x) = 4$ for $x = 2$ $f(x) = 3x - 2$ for $x > 2$ के फलन f(x) विन्दु $x = 2$ मा निरन्तर छ ? कारण दिनुहोस् ।

    Function f(x) is defined as follows. f(x) = x + 2 for $x < 2$ $f(x) = 4$ for $x = 2$ $f(x) = 3x - 2$ for $x > 2$ Is the function f(x) continuous at the point $x = 2$? Give reason.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

22. प्रश्न २२३ अङ्क

    मेट्रिक्स विधिको प्रयोग गरी हल गर्नुहोस् : $2x - 3y = 7$ र $3x - 4y = 10$

    Solve by using matrix method: $2x - 3y = 7$ and $3x - 4y = 10$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

23. प्रश्न २३३ अङ्क

    यदि वृत्त $x^{2} + y^{2} - 2x - 10y + 1 = 0$ को एउटा व्यासको एक छेउको निर्देशाङ्कहरू (1, 0) भए अर्को छेउको निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।

    If the co-ordinates of one end of a diameter of the circle $x^{2} + y^{2} - 2x - 10y + 1 = 0$ is (1, 0), find the co-ordinates of the other end.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

24. प्रश्न २४३ अङ्क

    प्रमाणित गर्नुहोस्: $4\sin^{3}\theta \cdot \cos 3\theta + 4\cos^{3}\theta \cdot \sin 3\theta = 3\sin 4\theta$

    Prove that: $4\sin^{3}\theta \cdot \cos 3\theta + 4\cos^{3}\theta \cdot \sin 3\theta = 3\sin 4\theta$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

25. प्रश्न २५३ अङ्क

    यदि $P + Q + R = 180^\circ$ भए प्रमाणित गर्नुहोस् : $\sin (P + Q - R) + \sin (Q + R - P) + \sin (R + P - Q) = 4$sinP$\cdot$sinQ$\cdot$sinR

    If $P + Q + R = 180^\circ$, prove that: $\sin (P + Q - R) + \sin (Q + R - P) + \sin (R + P - Q) = 4$sinP$\cdot$sinQ$\cdot$sinR

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

26. प्रश्न २६३ अङ्क

    एउटा धरहराको टुप्पोबाट त्यसको ठिक अगाडि रहेको 20 मिटर अग्लो एउटा खम्बाको टुप्पो र फेदमा हेर्दा अवनती कोणहरू क्रमशः $30^\circ$ र $60^\circ$ पाइयो भने धरहराको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।

    The angles of depression of the top and bottom of a pole 20 m high observed from the top of a tower are found to be $30^\circ$ and $60^\circ$ respectively. Find the height of the tower.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

27. प्रश्न २७३ अङ्क

    शीर्षविन्दुहरू A(3, 6), B(4, 2) र C(2, 2) भएको $\Delta$ABC लाई x-अक्षमा परावर्तन गर्दा प्राप्त हुने प्रतिबिम्ब त्रिभुजको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू मेट्रिक्स विधिद्वारा पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the co-ordinates of the vertices of image triangle of the $\Delta$ABC with vertices A(3, 6), B(4, 2) and C(2, 2) under the reflection on the x-axis by matrix method.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

28. प्रश्न २८३ अङ्क

    तल दिइएको तथ्याङ्कको पहिलो चतुर्थांश 16.25 भए चतुर्थांशीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् : प्राप्ताङ्क (Marks obtained) : $0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50$ विद्यार्थी सङ्ख्या (No. of Students) : 6 | 8 | 12 | 11 | 7

    Calculate the quartile deviation of the data given below where the first quartile is 16.25. Marks obtained : $0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50$ No. of Students : 6 | 8 | 12 | 11 | 7

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

29. प्रश्न २९३ अङ्क

    दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता निकाल्नुहोस् : प्राप्ताङ्क (Marks obtained) : $0-10 | 0-20 | 0-30 | 0-40 | 0-50$ विद्यार्थी सङ्ख्या (No. of Students) : 5 | 15 | 35 | 40 | 50

    Calculate the standard deviation from the given data. Marks obtained : $0-10 | 0-20 | 0-30 | 0-40 | 0-50$ No. of Students : 5 | 15 | 35 | 40 | 50

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

30. प्रश्न ३०४ अङ्क

    गुणोत्तर श्रेणीमा रहेका तीनओटा क्रमिक सङ्ख्याहरूको योगफल 56 छ । यदि ती सङ्ख्याहरूबाट क्रमशः 1, 7 र 21 घटाउँदा सङ्ख्याहरू समानान्तरीय श्रेणीमा हुन्छन् भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।

    The sum of three consecutive numbers of a geometric series is 56. If 1, 7 and 21 be subtracted from the numbers respectively, they form an arithmetic series. Find the numbers.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

31. प्रश्न ३१४ अङ्क

    एउटा वर्ग PQRS को शीर्षविन्दुहरू P र R का निर्देशाङ्कहरू क्रमशः (3, 7) र $(-1, 3)$ छन् भने विकर्ण QS को समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।

    The co-ordinates of vertices P and R of a square PQRS are (3, 7) and $(-1, 3)$ respectively. Find the equation of diagonal QS.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

32. प्रश्न ३२४ अङ्क

    समबाहु चतुर्भुज MNOP को विकर्णहरू आपसमा लम्ब हुन्छन् भनी भेक्टरविधिद्वारा प्रमाणित गर्नुहोस् ।

    Prove by vector method that the diagonals of rhombus MNOP are perpendicular to each other.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

33. प्रश्न ३३४ अङ्क

    R ले रेखा $y = -x$ मा हुने परावर्तन र S ले उद्गमविन्दु वरिपरि $180^\circ$ मा हुने परिक्रमणलाई जनाउँछ भने संयुक्त स्थानान्तरण RoS ले जनाउने एकल स्थानान्तरण पत्ता लगाउनुहोस् । सोही एकल स्थानान्तरण प्रयोग गरी शीर्षविन्दुहरू $A(1, 2), B(-4, 3)$ र C(3, 5) भएको $\Delta$ABC लाई स्थानान्तरण गर्दा बन्ने प्रतिबिम्बको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् । साथै $\Delta$ABC र यसको प्रतिविम्बलाई एउटै लेखा चित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।

    R denotes the reflection on the line $y = -x$ and S denotes the rotation about origin through $180^\circ$. Find the single transformation represented by combined transformation RoS. Using the same single transformation, find the co-ordinates of the vertices of the image of $\Delta$ABC having vertices $A(1, 2), B(-4, 3)$ and C(3, 5). Also present $\Delta$ABC and its image on the same graph paper.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्