एसईई २०८२ ऐच्छिक गणित प्रश्नपत्र, प्राविधिक धार

प्रश्नहरू

यहाँ १ अङ्कका १० प्रश्नको उत्तर दिइएको छ। यी GyanMul का नमुना उत्तर हुन् — नेबले उत्तरकुञ्जिका प्रकाशित गर्दैन, त्यसैले यी बोर्डका उत्तर होइनन्।

1. प्रश्न ११ अङ्क

   यदि बहुपदीय f(x) को एउटा गुणनखण्ड $(x - a)$ भए f(a) को मान कति हुन्छ, लेख्नुहोस् ।

   If $(x - a)$ is a factor of polynomial f(x), what is the value of f(a)? Write it.

   उत्तर: $f(a) = 0$ यो गुणनखण्ड प्रमेय (Factor theorem) हो: $(x - a)$ बहुपदीय f(x) को गुणनखण्ड हुनु र $f(a) = 0$ हुनु एउटै कुरा हो ।

2. प्रश्न २१ अङ्क

   पहिलो पद 'a' र समान अनुपात 'r' भएको गुणोत्तर श्रेणीको n औँ पद कति हुन्छ, लेख्नुहोस् ।

   What is the nᵗʰ term of a geometric series having first term 'a' and common ratio 'r'? Write it.

   उत्तर: $t_{n} = a\cdot r^{n-1}$ (पहिलो पदमा r को घात ०, दोस्रोमा १ … हुने हुँदा n औँ पदमा घात $(n - 1)$ हुन्छ ।)

3. प्रश्न ३१ अङ्क

   $-2 \le x \le 5$ लाई अन्तराल सङ्केतमा लेख्नुहोस् ।

   Write the interval notation for $-2 \le x \le 5$.

   उत्तर: $[-2, 5]$ दुवै छेउमा 'बराबर पनि$' (\le )$ भएकाले दुवै सीमा समावेश हुन्छन्, त्यसैले बन्द अन्तराल — दुवैतिर वर्ग कोष्ठक ।

4. प्रश्न ४१ अङ्क

   एकल मेट्रिक्सको डिटरमिन्यान्ट लेख्नुहोस् ।

   Write the determinant of singular matrix.

   उत्तर: 0 (शून्य) एकल (singular) मेट्रिक्स भनेकै त्यस्तो मेट्रिक्स हो जसको डिटरमिन्यान्ट शून्य हुन्छ — र त्यसैले त्यसको विपरीत मेट्रिक्स अस्तित्वमा हुँदैन ।

5. प्रश्न ५१ अङ्क

   दुई सरल रेखाहरू $L_{1}$ र $L_{2}$ को भुकाव क्रमशः $m_{1}$ र $m_{2}$ भए ती रेखाहरूबिचको कोण पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।

   The slopes of two straight lines $L_{1}$ and $L_{2}$ are $m_{1}$ and $m_{2}$ respectively. Write the formula for finding the angle between them.

   उत्तर: $\tan \theta = \pm (m_{1} - m_{2}) / (1 + m_{1}m_{2})$ जहाँ $\theta$ ती दुई रेखाबिचको कोण हो । (१ $+ m_{1}m_{2} = 0$ भए रेखाहरू परस्पर लम्ब हुन्छन्, र $m_{1} = m_{2}$ भए समानान्तर ।)

6. प्रश्न ६१ अङ्क

   केन्द्र (h, k) र अर्धव्यास 'r' एकाइ भएको वृत्तको समीकरण लेख्नुहोस् ।

   Write the equation of circle whose centre is (h, k) and radius 'r' units.

   उत्तर: $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ (केन्द्र मूलबिन्दु (0, 0) भएमा यो $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ बन्छ ।)

7. प्रश्न ७१ अङ्क

   $\cos 2\theta$ लाई $\sin \theta$ को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।

   Express $\cos 2\theta$ in terms of $\sin \theta$.

   उत्तर: $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$ व्युत्पत्ति: $\cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta = (1 - \sin^{2}\theta ) - \sin^{2}\theta = 1 - 2\sin^{2}\theta$

8. प्रश्न ८१ अङ्क

   $2\cos ((C + D)/2) \cdot \cos ((C - D)/2)$ लाई योग वा अन्तरको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।

   Express $2\cos ((C + D)/2) \cdot \cos ((C - D)/2)$ in terms of sum or difference form.

   उत्तर: (यो 'गुणनलाई योगमा बदल्ने' सूत्र 2cosX$\cdot$cosY $= \cos (X + Y) + \cos (X - Y)$ मा X = (C+D)/2 र $Y = (C-D)/2$ राखेर पाइन्छ ।)

9. प्रश्न ९१ अङ्क

   यदि भेक्टरहरू a⃗ र b⃗ आपसमा लम्ब छन् भने a⃗$\cdot \vec{b}$ को मान कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।

   If the vectors a⃗ and b⃗ are perpendicular to each other, then what is the value of a⃗$\cdot \vec{b}$? Write it.

   उत्तर: a⃗$\cdot \vec{b} = 0$ कारण: a⃗$\cdot \vec{b}$ = |a⃗||b⃗$| \cos \theta$ । लम्ब हुँदा $\theta = 90^\circ$ र $\cos 90^\circ = 0$ हुने भएकाले गुणनफल शून्य हुन्छ ।

10. प्रश्न १०१ अङ्क

    यदि उत्क्रम वृत्तको परिधिमा बिन्दु P पर्छ भने उत्क्रम बिन्दु P' कता पर्छ ? लेख्नुहोस् ।

    If the point P lies on the circumference of inversion circle, then where does the inversion point P' lie? Write it.

    उत्तर: P' पनि त्यही परिधिमै — अर्थात् P कै ठाउँमा पर्छ (P' र P एउटै बिन्दु हुन्छन्) । कारण: उत्क्रमको परिभाषाअनुसार $OP \times OP' = r^{2}$ । P परिधिमा भएकाले OP = r छ, त्यसैले $r \times OP' = r^{2}$ ⟹ OP' = r । किरण OP मै र केन्द्रबाट उही दूरीमा पर्ने हुँदा P' र P एउटै बिन्दु हुन्छन् ।

11. प्रश्न ११२ अङ्क

    शेष साध्य प्रयोग गरी $x^{3} - x^{2} + 1$ लाई $(x - 2)$ ले भाग गर्दा आउने शेष पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the remainder when $x^{3} - x^{2} + 1$ is divided by $(x - 2)$ using remainder theorem.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

12. प्रश्न १२२ अङ्क

    पाराबोला $y = x^{2}$ को लेखाचित्र खिच्नुहोस् ।

    Draw the graph of the parabola $y = x^{2}$.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

13. प्रश्न १३२ अङ्क

    मेट्रिक्स [ 5 2 ; 7 3 ] को विपरीत मेट्रिक्स $[ 3 -2$ ; $-7 5 ]$ हुन्छ भनी प्रमाणित गर्नुहोस् ।

    Prove that the matrix $[ 3 -2$ ; $-7 5 ]$ is the inverse of the matrix [ 5 2 ; 7 3 ].

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

14. प्रश्न १४२ अङ्क

    रेखा $3x - 4y = 10$ सँग समानान्तर हुने रेखाको भुकाव पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the slope of the line parallel to the line $3x - 4y = 10$.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

15. प्रश्न १५२ अङ्क

    प्रमाणित गर्नुहोस्: $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \tan (\theta /2)$

    Prove that: $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \tan (\theta /2)$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

16. प्रश्न १६२ अङ्क

    हल गर्नुहोस्: $3\tan^{2}\theta - 1 = 0 (0^\circ \le \theta \le 90^\circ )$

    Solve: $3\tan^{2}\theta - 1 = 0 (0^\circ \le \theta \le 90^\circ )$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

17. प्रश्न १७२ अङ्क

    यदि a⃗ $= 6\vec{i}$ + 2j⃗ र b⃗ $= 2\vec{i}$ + Kj⃗ आपसमा लम्ब छन् भने 'k' को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।

    If a⃗ $= 6\vec{i}$ + 2j⃗ and b⃗ $= 2\vec{i}$ + Kj⃗ are perpendicular to each other, find the value of 'k'.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

18. प्रश्न १८२ अङ्क

    कुनै अविच्छिन्न तथ्याङ्कको चतुर्थांशीय भिन्नता र पहिलो चतुर्थांश क्रमशः 14 र 12 छन् । तेस्रो चतुर्थांश पत्ता लगाउनुहोस् ।

    In a continuous data, the quartile deviation and first quartile are 14 and 12 respectively. Find the third quartile.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

19. प्रश्न १९३ अङ्क

    यदि $f(x) = 2x - 3, g(x) = (x + 2)/3$ र $g^{-1}(x) =$ fof(x) भएको अवस्थामा 'x' को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।

    If $f(x) = 2x - 3, g(x) = (x + 2)/3$ and $g^{-1}(x) =$ fof(x), find the value of 'x'.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

20. प्रश्न २०३ अङ्क

    शर्तहरू $x + y \le 6, x - y \ge 2$ र $y \ge 0$ को आधारमा उद्देश्य फलन $z = 2x + 3y$ को अधिकतम मान पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the maximum value of the objective function $z = 2x + 3y$ under the constraints $x + y \le 6, x - y \ge 2$ and $y \ge 0$.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

21. प्रश्न २१३ अङ्क

    यदि फलन $f(x) = 4x - 1$ परिभाषित छ भने, (a) f(2.999) र f(3.001) को मान पत्ता लगाउनुहोस् । (b) के फलन f(x) बिन्दु $x = 3$ मा निरन्तर छ ? कारण दिनुहोस् ।

    If the function $f(x) = 4x - 1$ is defined, Find the value of f(2.999) and f(3.001). Is function f(x) continuous at the point $x = 3$? Give reason.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

22. प्रश्न २२३ अङ्क

    मेट्रिक्स विधिबाट हल गर्नुहोस्: $3x + y = 9$ र $2x - y = 1$

    Solve by matrix method: $3x + y = 9$ and $2x - y = 1$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

23. प्रश्न २३३ अङ्क

    समीकरण $2x^{2} +$ kxy $+ 3y^{2} = 0$ ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरूबिचका एउटा कोण $45^\circ$ भए k को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।

    The angle between a pair of straight lines represented by equation $2x^{2} +$ kxy $+ 3y^{2} = 0$ is $45^\circ$, find the value of k.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

24. प्रश्न २४३ अङ्क

    प्रमाणित गर्नुहोस् : $(1 + \tan \theta ) / (1 - \tan \theta ) = (1 + \sin 2\theta ) / \cos 2\theta$

    Prove that: $(1 + \tan \theta ) / (1 - \tan \theta ) = (1 + \sin 2\theta ) / \cos 2\theta$

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

25. प्रश्न २५३ अङ्क

    यदि $A + B + C = \pi^{c}$ भए, प्रमाणित गर्नुहोस् : $\cos 2A + \cos 2B - \cos 2C = 1 - 2$sinA $\cdot$ sinB $\cdot$ cosC

    If $A + B + C = \pi^{c}$, prove that: $\cos 2A + \cos 2B - \cos 2C = 1 - 2$sinA $\cdot$ sinB $\cdot$ cosC

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

26. प्रश्न २६३ अङ्क

    एउटा स्तम्भबाट 45 m र 20 m टाढा रहेका बिन्दुबाट स्तम्भको टुप्पोमा हेर्दा उन्नतांश कोणहरू सम्पूरक हुन्छ भने स्तम्भको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।

    The angles of elevation of the top of a tower observed from the points at the distances of 45 m and 20 m from the tower are complementary. Find the height of tower.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

27. प्रश्न २७३ अङ्क

    मेट्रिक्स [ 3 0 ; 1 1 ] ले एकाइ वर्गलाई स्थानान्तरण गर्दा बन्ने प्रतिबिम्बका शीर्षबिन्दु पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the vertices of the image formed when a unit square is transformed by the matrix [ 3 0 ; 1 1 ].

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

28. प्रश्न २८३ अङ्क

    दिइएको तथ्याङ्कको मध्यकबाट मध्यक भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् : वर्गान्तर │ 10-30 │ 30-50 │ 50-70 │ 70-90 │ 90-110 ─────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼──────── बारम्बारता │ 2 │ 3 │ 4 │ 2 │ 4

    Find the mean deviation from the mean of the given data. Class Interval │ 10-30 │ 30-50 │ 50-70 │ 70-90 │ 90-110 ───────────────┼───────┼───────┼───────┼───────┼──────── Frequency │ 2 │ 3 │ 4 │ 2 │ 4

    

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

29. प्रश्न २९३ अङ्क

    तल दिइएको तथ्याङ्कको आधारमा स्तरीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् : प्राप्ताङ्क (Marks Obtained) │ 0-10 │ 10-20 │ 20-30 │ 30-40 │ 40-50 ───────────────────────────┼──────┼───────┼───────┼───────┼─────── विद्यार्थी सङ्ख्या (No.) │ 5 │ 4 │ 4 │ 6 │ 1

    Find the standard deviation from the data given below. Marks Obtained │ 0-10 │ 10-20 │ 20-30 │ 30-40 │ 40-50 ───────────────────────────┼──────┼───────┼───────┼───────┼─────── No. of Students │ 5 │ 4 │ 4 │ 6 │ 1

    

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

30. प्रश्न ३०४ अङ्क

    एउटा समानान्तरीय श्रेणीको पाँचौँ पद र दशौँ पद क्रमशः 8 र 3 छन् । सो श्रेणीको पहिलो कतिओटा पदको योगफल शून्य हुन्छ ? पत्ता लगाउनुहोस् ।

    The fifth and tenth terms of an arithmetic series are 8 and 3 respectively. How many terms should be taken from the first so as to make their sum zero? Find it.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

31. प्रश्न ३१४ अङ्क

    बिन्दुहरू (3, 0), (0, 0) र (0, 2) भएर जाने वृत्तको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।

    Find the equation of the circle passing through the points (3, 0), (0, 0) and (0, 2).

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

32. प्रश्न ३२४ अङ्क

    चतुर्भुज PQRS मा भुजाहरू PQ, QR, RS र SP का मध्यबिन्दु क्रमशः A, B, C र D छन् । भेक्टर विधिबाट ABCD एउटा समानान्तर चतुर्भुज हो भनी प्रमाणित गर्नुहोस् ।

    In a quadrilateral PQRS, the mid points of the sides PQ, QR, RS and SP are A, B, C and D respectively. Prove by vector method that ABCD is a parallelogram.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्

33. प्रश्न ३३४ अङ्क

    शीर्षबिन्दुहरू $A(3, 3), B(1, -1)$ र C(5, 0) भएको $\triangle$ABC लाई x-अक्षमा परावर्तन गरिएको छ । प्राप्त प्रतिबिम्बलाई उद्गम बिन्दुको वरिपरि $-90^\circ$ मा परिक्रमण गरिएको छ । यसरी प्राप्त प्रतिबिम्बका शीर्षबिन्दुका निर्देशाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् । साथै वस्तु र प्रतिबिम्बलाई एउटै लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।

    $\triangle$ABC with vertices $A(3, 3), B(1, -1)$ and C(5, 0) is reflected on the x-axis. The image so obtained is rotated through $-90^\circ$ about the origin. Find the co-ordinates of the vertices of the images thus formed. Also present the object and the images in the same graph paper.

    हल गरिएको उत्तर र अङ्क विभाजन हेर्नुहोस्: GyanMul Prep मा निःशुल्क अभ्यास गर्नुहोस्